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<title>Erlanger Programm</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Erlanger Programm</span></h1>

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<p>Das <b>Erlanger Programm</b> bezeichnet die von <a href="Felix_Klein_(Mathematiker)" title="Felix Klein (Mathematiker)">Felix Klein</a> bei seinem Eintritt in die <a href="Universit%C3%A4t_Erlangen" class="mw-redirect" title="Universität Erlangen">Universität Erlangen</a> vorgelegte wissenschaftliche Programmschrift (1872). In dieser entwickelte er die Auffassung einer systematischen Klassifikation geometrischer Teildisziplinen, die von der Vorstellung ausgeht, dass die <a href="Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a> die Eigenschaften von Figuren untersucht, die bei Lageänderungen erhalten bleiben und daher eine Klassifizierung mittels der jeweils betrachteten möglichen Lageänderungen, das heißt der zugelassenen geometrischen Transformationen, anstrebt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelheiten_des_geometrischen_Forschungsprogramms">Einzelheiten des geometrischen Forschungsprogramms</h2></div>

<p><a href="Felix_Klein_(Mathematiker)" title="Felix Klein (Mathematiker)">Felix Klein</a> skizzierte eine <a href="Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a> jenseits der <a href="Euklidische_Geometrie" title="Euklidische Geometrie">euklidischen Geometrie</a>, namentlich die <a href="Hyperbolische_Geometrie" title="Hyperbolische Geometrie">hyperbolische Geometrie</a>

nach <a href="Nikolai_Iwanowitsch_Lobatschewski" title="Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski">Lobatschewski</a>, die später für die <a href="Relativit%C3%A4tstheorie" title="Relativitätstheorie">Relativitätstheorie</a> in der <a href="Physik" title="Physik">Physik</a> Bedeutung erlangte, sowie die <a href="Elliptische_Geometrie" title="Elliptische Geometrie">elliptische Geometrie</a>. Diese beiden nichteuklidischen <a href="Geometrie" title="Geometrie">Geometrien</a>

wurden bald darauf wichtig in der <a href="Differentialgeometrie" title="Differentialgeometrie">Differentialgeometrie</a>.

</p><p>Bei jeder der sich so ergebenden <a href="Geometrie" title="Geometrie">Geometrien</a> bilden die zugehörigen Transformationen bezüglich ihrer Hintereinanderausführung eine <a href="Gruppe_(Mathematik)" title="Gruppe (Mathematik)">Gruppe</a>, die Transformationsgruppe der jeweils betrachteten Geometrie. Die in der betreffenden Geometrie untersuchten Eigenschaften bleiben bezüglich aller Transformationen der Transformationsgruppe invariant.

</p><p>Die elementare euklidische Geometrie oder Kongruenzgeometrie ist die Geometrie des Anschauungsraumes, deren Transformationsgruppe die Gruppe der <a href="Bewegung_(Mathematik)" title="Bewegung (Mathematik)">Bewegungen</a> (also der <a href="Parallelverschiebung" title="Parallelverschiebung">Translationen</a>, <a href="Drehung" title="Drehung">Drehungen</a> oder <a href="Spiegelung_(Geometrie)" title="Spiegelung (Geometrie)">Spiegelungen</a>) ist, die alle längen- und winkeltreue Abbildungen sind.

</p>

<ul><li>Verzichtet man bei den zugelassenen Transformationen auf die Längentreue und lässt auch Punktstreckungen zu, so erhält man die äquiforme Gruppe der Transformationen, die die Ähnlichkeits- oder äquiforme Geometrie kennzeichnet.</li>

<li>Verzichtet man auch auf die Winkeltreue, so gelangt man zur Transformationsgruppe der bei Koordinatendarstellung linearen Transformationen, d. h. der <a href="Kollineation" title="Kollineation">Kollineationen</a>, die das <a href="Teilverh%C3%A4ltnis" title="Teilverhältnis">Teilverhältnis</a> je dreier Punkte erhalten. Sie kennzeichnen die <a href="Affine_Geometrie" title="Affine Geometrie">affine Geometrie</a>.</li>

<li>Fügt man schließlich zum Anschauungsraum noch unendlich ferne oder uneigentliche Punkte als Schnittpunkte von Parallelen hinzu, so lassen die Kollineationen in diesem Raum das <a href="Doppelverh%C3%A4ltnis" title="Doppelverhältnis">Doppelverhältnis</a> von je vier Punkten invariant und bilden die Gruppe der projektiven Transformationen, deren zugehörige Geometrie die <a href="Projektive_Geometrie" title="Projektive Geometrie">projektive Geometrie</a> ist.</li></ul>

<p>Neben den hier genannten klassischen Geometrien, die alle durch Einschränkung der Transformationsgruppe aus der projektiven Geometrie hervorgehen, kann man auf diese Art von der projektiven Geometrie auch zur <a href="Elliptische_Geometrie" title="Elliptische Geometrie">elliptischen</a> und zur <a href="Hyperbolische_Geometrie" title="Hyperbolische Geometrie">hyperbolischen Geometrie</a> gelangen, auch diese nichteuklidischen Geometrien lassen sich also nach dem Erlanger Programm klassifizieren. Allerdings reicht das Erlanger Programm nicht aus für eine vollständige Klassifizierung aller Geometrien: zum Beispiel kann die der allgemeinen <a href="Relativit%C3%A4tstheorie" title="Relativitätstheorie">Relativitätstheorie</a> zugrunde liegende <a href="Riemannsche_Geometrie" title="Riemannsche Geometrie">Riemannsche Geometrie</a> durch diese Klassifizierung nicht erfasst werden (<a href="Lie-Gruppe" title="Lie-Gruppe">Lie-Gruppen</a>).

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<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Renate_Tobies" title="Renate Tobies">Renate Tobies</a>: <i>Felix Klein.</i> Teubner, Leipzig 1981.</li>

<li>Renate Tobies: <i>Felix Klein in Erlangen und München.</i> In: <i>Amphora: Festschrift für Hans Wussing zu seinem 65. Geburtstag.</i> Birkhäuser, 1992.</li>

<li><a href="David_E._Rowe" title="David E. Rowe">David E. Rowe</a>, John McCleary (Hrsg.): <i>The Early Geometrical Works of Sophus Lie and Felix Klein</i>. In: <i>The History of Modern Mathematics. Ideas and their Reception.</i> Academic Press, Boston 1989, Bd. 1, S. 209–273.</li>

<li>Lizhen Ji, Athanase Papadopoulos (Hrsg.): <i>Sophus Lie and Felix Klein: The Erlangen Program and Its Impact in Mathematics and Physics.</i> IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 23, European Mathematical Society Publishing House, Zürich 2015.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.gutenberg.org/ebooks/38033"><i>Erlanger Programm</i></a> im <a href="Project_Gutenberg" title="Project Gutenberg">Project Gutenberg</a></li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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